Les élèves se rappellent qu'on a traité un problème du même genre dans l'année.
On explique ce que ça veut dire "du même genre": ce qui était pareil au niveau mathématiques, ce n'est pas d'avoir des allumettes mais d'avoir une "structure qui change toujours de la même façon". C'est que qu'on appelle un modèle mathématiques.
Cette similitude nous permet de rappeler que dans les maisons en allumettes, toutes les maisons n'avaient pas 5 allumettes car "il y avait un mur en commun".
On se rappelle aussi qu'à cause des murs en commun, si on doublait le nombre de maison, ça ne doublait pas le nombre d'allumettes.... Est-ce que ces éléments vont aussi être faux avec nos triangles?
Assez vite, on remarque que le premier triangles a 3 triangles mais qu'ensuite il n'y a que 2 allumettes en plus pour obtenir un triangle en plus... Comme pour les maisons...
Certains élèves remarque que je demande pour 4 triangles puis pour 8. Je double le nombre de triangles... Pour vérifier si cela double le nombre d'allumettes... Et non! Encore une fois, comme pour les maisons.
Une fois cela mis en place, les élèves cherchent comment trouver le nombre d'allumettes pour 265 triangles. Et surtout pour n'importe quelle étape: c'est à dire que je pense à un nombre de triangle sans leur dire et qu'ils doivent m'expliquer, sans que je leur donne mon nombre, comment faire pour trouver le nombre d'allumettes nécessaire.
Après un temps de recherche plusieurs méthodes sont trouvées:
Méthode 1:
le premier triangle est construit avec 3 allumettes mais les suivants seulement avec 2, donc pour 265 triangles, il y a un triangle (le premier) avec 3 allumettes et 264 (car 1 de moins que de 265) : donc il y a 3 + 264 x2 allumettes.
Cette méthode consiste donc à choisir le nombre de triangles qu'on veut, à enlever 1 (pour trouver le nombre de triangles à 2 allumettes), à multiplier ce nombre par 2 (car 2 allumettes) puis à ajouter 3 (les 3 allumettes du premier triangle).
On peut écrire cette méthode sous d'autres formes (on parle de représentation):
En programme: attention l'ordre des opérations n'est plus le même car on doit commencer par le choix de l'étape:
Choisir l'étape
- 1
x 2
+ 3
ou
en expression (les élèves disent formule):
(Etape - 1 )x 2 + 3 Attention aux parenthèses pour respecter les priorités opératoires
et commencer par soustraire 1 à l'étape
Méthode 2:
On considère que tous les triangles sont construits avec 2 allumettes, et qu'on rajoute la première allumettes pour fermer le premier triangle.
Donc pour 265 triangles, on aura 265 x2 allumettes puis 1 allumettes pour "fermer".
Cette méthode consiste à choisir le nombre de triangles, à multiplier par 2 car les triangles ont 2 allumettes... Puis rajouter la première allumette (pour finir le premier triangle).
On peut écrire aussi cette méthode sous d'autres formes (on parle de représentation):
En programme:
Choisir l'étape
x 2
+1
ou
en expression (les élèves disent formule):
Etape x 2 + 1
Méthode 3:
On considère que tous les
triangles sont construits avec 3 allumettes, et on enlève les allumettes (en double). Mais combien il y en a en double? 1 de moins que le nombre de triangles...
Donc pour 265 triangles, on aura 265 x3 allumettes puis on retire 265 - 1 = 264 allumettes.
Cette méthode consiste à choisir le nombre de triangles, à multiplier par 3 car les triangles ont 3 allumettes... Puis retirer 265 -1 allumettes (pour enlever les doubles).
On peut écrire aussi cette méthode sous d'autres formes (on parle de représentation):
En programme:
Choisir l'étape
x 3
- (étape -1)
ou
en expression (les élèves disent formule):