Après un temps d'appropriation individuelle du problème, on rappelle ensemble l'objectif: prouver qu'Emie a raison ou tort! Ensuite on regarde le différentes stratégies pour se lancer:
-> "utiliser des x pour raccourcir le programme"
-> Faire des essais
-> Remonter le programme.
Certains élèves expliquent
qu'ils n'ont pas remonté le programme car ce n'est pas possible (à
cause de "soustraire le double du nombre de départ"). Cela signifie
qu'ils avaient une stratégie en tête mais qu'ils ne l'ont pas utilisée
car ils savaient que "ça bloqué". Ils doivent alors l'adapter (ou
s'arrêter).
On évoque ensuite les compétences qu'on a mobilisé:
- calculer (car on fait des calculs avec des nombres ou pour certains avec des lettres -> calcul littéral)
- communiquer: on explique sa démarche et pourquoi!
- chercher: on essaie des pistes (méthodes expliquées en amont) et on adapte (vérification)!
- représenter: on utilise le programme de calculs pour le représenter à l'aide de calculs ou d'expressions littérale.
Cela permet d'expliquer plus précisément ces deux dernières compétences. Notamment représenter pour laquelle on donne plusieurs exemples (représenter c'est utiliser plusieurs représentations d'un objet mathématiques):
décomposer un nombre: 12 = 6x2 = 3x4
passer d'un tableau à un graphique ou une liste de valeurs
les fractions: 3/4 = 6/8 = trois quarts = "un dessin"
programmes de calculs et expression littérales
les puissances.
Pour chercher, certains ont utilisé une méthode moins experte au niveau de la représentation, mais ils sont aller plus loin dans leur recherche: ils ont vérifié ce qu'ils avaient produit et comme cela n'était pas correct, ils sont repartis sur une autre méthodes (souvent des essais). Alors que certains ont utilisé le calcul littéral mais ont commis une erreur... Amenant à une conclusion erronée, qu'ils ne vérifient pas!
Après
cela, nous expliquons ce que signifie modéliser: reconnaitre et
utiliser un modèle mathématiques c'est à dire une opérations, une figure
géométrique....
Dans l'exercice en jeu, nous n'avions pas besoin de la mobiliser.
Ensuite:
"ceux qui ont fait des essais, qu'avaient vous conclu?
- Nos essais donne tous 16.
- Est ce que cela démontre que c'est toujours le cas? Non seulement sur nos cas... "
Certains
proposent de travailler avec "les x" mais sans trop savoir quoi faire
et pourquoi... Je montre alors à la classe, qu'il n'était pas obligé de
changer de représentations:
Dans le programme, on multiplie par 2,
(le nombre de départ + 6) mais ensuite on enlève 2 fois le nombre de
départ. Donc il ne reste que l'augmentation de 6 qui est pris 2 fois et
ensuite on ajoute 4.
Cela revient à 16! Tout le temps.
Ce raisonnement peut se faire aussi en s'appuyant sur les expressions littérales:
le programme se représente par:
2 x (N + 6) + 4 - 2 x N où N est le nombre choisi.
2 x (N + 6) + 4 - 2 x N = N + 6 + N+6 + 4 - 2 x N = 6 + 6 +4 = 16.
Ce choix de représentation rend la démonstration plus simple à rédiger... Mais elle est peut être moins accessible?