Allumettes

 

C'est la 3e fois cette année que nous rencontrons des activités de ce type (les tables accolées et l'assemblage de carré).

Cette fois, je demande aux élèves:
- d'avoir en tête que pour l'étape 120, il faut expliquer et que ces explications doivent permettre d'arriver à expliquer aussi pour n'importe quelle étape.

- de vérifier leur méthode avec une étape qu'on connait (1 , 2 ou 3).

- de chercher plusieurs méthodes

Certains proposent de faire 120 x5 car une maison à 5 allumettes... On vérifie sur l'étape 3:
3 x 5 = 15 alors qu'en comptant on trouve... 13 allumettes. 
Donc ce modèle n'est pas correct.

En laissant du temps, les élèves arrivent à proposer des méthodes. Certains les généralisent, c'est à dire qu'ils les expliquent pour n'importe quelle étape (souvent à l'aide d'une formule). D'autres n'arrivent pas à dépasser le cas de 120.

Voici quelques productions:

On présente au tableau 3 méthodes et pour chacune d'elles, on explique pour l'étape 120, on vérifie pour l'étape 3 puis on propose une expression et un programme (qu'on vérifie également en teste les programme avec 120 et l'expression en remplaçant E par 120). 
Voici le tableau bilan:

En conclusion, j'essaie de faire ressortir tout ce qui est "derrière" cet exercice et qui va nous faire avancer...

Le fait d'écrire un programme de calculs ou une expression permet de généraliser une idée mais aussi de comprendre les opérations en jeu (donc modéliser).

De savoir passer d'un programme à une expression (une formule) permet de pouvoir se retrouver dans une représentation qu'on préfère (par exemple si on n'aime pas les programmes de calculs, on les "transforme" en formule...). Cela permet aussi de réfléchir sur la structure des calculs, c'est à dire comment ils "fonctionnent" (et pas seulement comment je les fais).

Autre point fondamental: on regarde les 3 programmes. Que peut-on en dire?

Ils sont équivalents, c'est à dire que pour le même nombre de départ, ils donnent le même nombre final. Bien qu'ils ne fassent pas les même opérations...
On le sait car ils permettent tous les 3 d'obtenir le nombre d'allumettes... Mais on peut aussi m'expliquer en raisonnant sur les calculs.
Par exemple dans le deuxième programme, on soustrait (l'étape -1). Cela veut dire qu'on soustrait un peu moins que l'étape. 
Donc si on enlève l'étape on aura trop enlever, il faudra remettre 1.

Donc le 2e programme est équivalent à:
Choisir l'étape
x 5
- l'étape
+ 1

Et comme prendre l'étape 5 fois et l'enlever 1 fois revient à la prendre que 4 fois, le 2e programme est équivalent à:

Choisir l'étape
x 4
+ 1

Comme le 3e!

Ce raisonnement sur le calcul est dur... on le retravaillera plus tard.