Chacun teste avec la valeur de son choix (puis avec une autre valeur).
Par exemple pour 2 comme nombre de départ, les 4 programmes donnent 31. Pour 10 comme nombre de départ, les 4 programmes donnent 95.
On peut donc supposer (ce qu'on appelle faire une conjecture) que pour tous les nombres de départ les programmes donnent la même réponse finale.
On essaie de voir comment justifier (démontrer) que cette conjecture est tout le temps vraie. C'est à dire que pour n'importe quel nombre les programme donnent le même nombre final.
Pour cela, certains manipulent les programment:
Pour le programme rouge:
"le nombre de départ est pris 6 fois puis rajouter 2 fois à la fin. Donc on aurait pu le multiplier par 8".
Pour le programme vert:
"ajouter 18 et enlever 3 revient à ajouter 15".
Donc les 2 programmes reviennent à faire :
choisir
x 8
+ 15
Le programme bleu est plus complexe car ce qui est multiplié par 2 est "le nombre de départ 4 fois + 7".
On a donc 2 fois "4 fois le nombre +7" donc 4 fois le nombre et encore 4 fois le nombre +7 +7 donc 8 fois le nombre et 14 en plus... et vu qu'on rajoute 1 à la fin on arrive aussi à :
choisir
x 8
+ 15
Pour démontrer cela on peut aussi s'appuyer sur le calcul littéral:
si on représente le programme bleu à l'aide d'une expression, en prenant x pour représenter le nombre de départ, on a:
(x x 4 + 7 )x 2 + 1 = x x 4 + 7 + x x 4 + 7 + 1 = x x 8 + 15
Et l'expression x x 8 + 15 est aussi une représentation du programme:
choisir
x 8
+ 15
Pour le programme orange (exprimé sous la forme d'une expression), il faut comprendre que
(A + 3) x (A+5) signifie ajouter "A + 3"fois "A + 5"c'est à dire ajouter "A fois "A + 5" et encore rajouter 3 fois A + 5.
On a donc : (A + 3) x (A+5) =A+5 ..... A+5 + A+5+ A+5+ A+5
A fois + 3 fois
= A x A + A x 5 + 3 x A + 3x 5
= A² + 8x A + 15
Donc (A + 3) x (A+5) - A² = 8x A + 15
Ce qui encore une fois correspond au programme:
choisirx 8
+ 15