Pour commencer, nous clarifions la situation pour lever toute incompréhension:
L'étape 1 comporte 3 allumettes (3 segments à "bouts" bleus sur le dessin), l'étape 2 en comporte 7, etc...
On cherche si on construit l'étape 10 (puis 122), combien il faudra d'allumettes.
Pour 10, certains dessinent alors que d'autres utilisent des stratégies.
Pour l'étape 122, ceux qui ont dessiné sont "bloqués" pour le moment, et ceux qui ont utilisé une stratégie, essaient de l'adapter quand c'est possible.
Pas mal d'élèves demandent de vérifier leur proposition. Avant cela, j'invite à réfléchir comment savoir si sa stratégie est correcte ou non.
Certains, de manière autonome, comparent avec les autres... Très bien!!! Mais comment savoir ce qui est correct ou non?
Je les invite alors à vérifier si leur stratégie sont correctes sur les étapes 1, 2 ou 3 pour lesquelles on connait le nombre d'allumettes... Ainsi on sait, tout seul, si sa proposition est correcte ou non.
Par la suite on regarde ensemble plusieurs stratégies:
A) Chaque triangle a 3 allumettes, et "en haut on met une allumette en plus à chaque fois sauf une fois".
Donc pour l'étape 122, il faut 122 x 3 + 122-1.
B) On peut voir que pour chaque étape, on forme un groupe de 4 allumettes sauf pour le premier motif qui en a 1 de moins. Donc pour l'étape 122, on peut faire 122 x 4 - 1 (on fait comme si 4 allumettes à chaque fois et on enlève celle du début qui manque).
C) A chaque étape on ajoute 4 allumettes. Donc on peut faire 3 + 4 +4 +....+ 4. Pour chaque étape.
Cette dernière méthode amène une discussion:
"Moi, j'ai fait étape 10 + étape 10 = étape 20"; pour vérifier cela, on dessine l'étape 20... Et on se rend compte qu'il y a une allumette de plus que 2 fois l'étape 10. On ne peut pas faire cela donc.
D'autres, disent: "moi, au lieu de faire +4 +4... , j'ai fait +40 pour faire 10 étapes d'un coup";
En effet ajouter 4, 10fois revient à ajouter 40.
De cela en découle une méthode plus générale, pour aller à l'étape 122, je dois ajouter 4, 121 fois (cela correspond à l'écart entre 1 et 122). Donc je fais 3 + 121 x 4.
Après avoir bien discuté de ses méthodes, je demande de les généraliser en utilisant une formule ou un programme de calculs.
Voila ce qu'on obtient:
A B C
Programme: Choisir un nombre Choisir un nombre Choisir un nombre
x 3 x 4 - 1
Ajouter le nombre choisi - 1 x 4
-1 + 3
Formule: e x 3 + e -1 e x 4 - 1 (e - 1) x 4 +3
e est l'étape choisie
Pour finir ce travail, on oublie les allumettes, et on analyse juste les calculs (programmes ou formules)
On sait que les formules "font la même chose" et les programmes aussi. Mais pourquoi?
On commence par regarder le A; dans le programme on prend 3 fois le nombre de départ et on le rajoute 1 fois. Donc c'est comme si on le prenait 4 fois. Finalement c'est comme le programme B.
Pour le C, c'est plus complexe. Je demande ce qui est multiplié par 4? "le nombre choisi - 1". Donc on prend 4 fois (le nombre choisi moins 1). Cela revient à prendre 4 fois le nombre mais aussi 4 fois la diminution de 1, donc de diminuer de 4.... Mais comme on rajoute 3, cela revient seulement à diminuer de 1! Comme dans le B.
Je réexplique cela, en s'appuyant sur la formule: 4 x (e-1) = e-1 +e-1 +e-1 +e-1 = 4 x e - 4
Et 4 x e - 4 + 3 = 4 x e - 1.