On commence par corriger une erreur dans le orange: ce n'est pas + 4 à la fin mais +2.
Ensuite, on analyse un exemple. En prenant 4 comme nombre de départ.
On effectue rapidement les 3 programmes puis on prend le temps sur le orange car 2 nombreux élèves n'appliquent pas les règles de priorités opératoires (multiplication prioritaire sur l'addition et la soustraction):
4 x 8 + 12 - 2 x 4 + 2 = 32 +12 - 8 + 2 = 44 -8 +2 = 36 +2 = 38.
On remarque que pour 4, les 4 programmes donnent 38.
Que peut-on supposer? Que si on fait un 2e essai, on trouvera aussi le même nombre à la fin pour les 4 programmes.
Ces essais, ils les ont fait. On peut donc supposer que pour tous les nombres de départ on obtiendra toujours les mêmes nombres à la fin!
J'insiste sur la différence entre le fait que pour 4, on est sur qu'on obtient le même nombre (et pour les exemples qu'on a fait) car on les a calculé.
Alors qu'ensuite ON SUPPOSE (on fait une conjecture) que cela va être tout le temps pareil. On n'en est pas sur! C'est juste une proposition qu'on pense vraie.
Alors pourquoi ces 4 programmes donneraient les mêmes nombres à la fin?
Si on regarde le vert et le rouge:
Dans le vert, on ajoute 17 et on soustrait 3, cela revient à ajouter 14. Donc le vert est équivalent à:
choisir
x6
+14
Dans le rouge, on multiplie le nombre de départ par 4, puis on rajoute 2 fois le nombre de départ. Cela revient à le multiplier par 6 (4 fois et encore 2 fois, ça fait 6 fois).
Le rouge est donc équivalent aussi à:
choisir
x6
+14
Pour justifier cela, on pourrait aussi représenter les programmes à l'aide d'expression et à les simplifier:
Pour le rouge
Choisir
x 4
+14 ------ > A x 4 +14 + 2 x A = 6 x A +14
+ 2 x le nombre départ
Pour le vert
Choisir
x 6
+ 17 ------ > A x 6 +17 -3 = A x 6 + 14
- 3
Pour le orange on peut également simplifier l'expression:
A x 8 +12 - 2 x A + 2 = A x 6 +12 +2 = A x 6 +14 car on a 8 fois le A et on le retire 2 fois, il reste donc 6 fois le A.
On pourrait également, le représenter à l'aide d'un programme:
Choisir
A x 8 +12 - 2 x A + 2 --- --- > x 8
+12
- 2 fois le nombre de départ
+ 2
Enfin, le programme bleu est plus dur:
On multiplie par 2: le nombre de départ x 3 + 7 donc On prend le nombre de départ 3 fois et encore 3 fois donc 6fois et on rajoute 7, 2 fois donc on rajoute 14.
On peut encore une fois s'appuyer sur une formule:
(A x 3 + 7 ) x 2 = A x 3 + 7 + A x 3 + 7 = A x 6 + 14