Certains voient tout de suite le but et comprennent le modèle... D'autres non.
On repart de notre perception: "que pense-t-on quand on voit cette figure?"
"les triangles sont pareils mais un est agrandi" ou "les triangles sont semblables".
Comment peut-on être sur qu'ils "sont pareils"?
On peut soit regarder:
- si les angles des 2 triangles sont égaux. OU
- si les côtés des triangles sont proportionnels (c'est à dire si les
côtés d'un triangle sont toujours ... fois plus grand que l'autre).
Deux nombreux élèves pensent que les angles AED et ACB sont "les mêmes"... Mais pourquoi?
Car les droites sont parallèles, donc les angles correspondants sont égaux.
Avec le même raisonnement, on prouve que les angles, ADE et ABC sont aussi égaux.
D'après cela on peut dire que s triangle "AED est agrandi en ABC"
On peut aussi dire que les triangles ABC et AED sont des triangles semblables.
Car les triangles ont les mêmes angles donc ils ont la même forme!
Maintenant, il faut déterminer le périmètre de AED: pour cela il faut déterminer les longueurs de ses 3 côtés. Comme AED est une réduction du triangle ABC (car ils ont la même forme), alors cela veut dire que leur longueur sont proportionnelles. Il suffit de détermine combien de fois les longueurs de ABC sont plus petites que celles de AED!
Tout cela correspond au théorème de Thalès!
Pour résumé:
Les angles sont égaux car ils sont correspondants et que les droites sont parallèles.
Ainsi les triangles ADE et ABC ont les mêmes angles. Ils sont donc
semblables, c'est à dire qu'ils ont la même forme (mais pas forcément la
même taille).
Comme ils sont semblables, le triangle DE est une réduction du triangle ABC;
C'est à dire que les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
Dans ce cas, on remarque que pour passer de 8 à 5, il faut multiplier par 0,625.
Comme les triangles sont semblables on peut appliquer ce coefficient aux 3 longueurs des côtés.
Donc AD = 11 x 0,625 = 6,875 et DE = 9 x 0,625 = 5,625 ....
Voici quelques résumés rédigés par les élèves:
