Les élèves placent sur leur cahier 2 points A et B.
Ils tracent ensuite le segment [AB], c'est à dire le trait reliant les 2 points.
Ensuite, chacun reçoit une bande unité (tous la même). Et ils doivent, à l'aide de cette bande, mesurer leur segment.
Pour cela, ils reportent un certain nombre de fois la bande (en faisant un petit marquage sur le segment).... Puis arrive la fin du segment:
- pour certains "cela tombe bien!"
- pour d'autres, il faut trouver une "part de bande".
On montre à la classe comment s'organiser pour déterminer cette part, à l'aide de pliage de la bande.
Chacun arrive à mesurer sa bande:
Lors du cours suivant, nous notons au tableau toutes les longueurs trouvées.
Nous avons de tout. Par exemple: 1 + 1/4 ; 7/8 ; 2 +3/4; 1+1/3 ; 3+ 2/5; 27/16....
Je demande alors comment nous pourrions faire pour les classer de la plus petite à la plus grande.
Une élève propose de regarder en premier le nombre d'unités puis la fraction.
On fait alors 4 grandes familles:
- la famille sans unité
- la famille avec une unité
- la famille avec deux unités
- la famille avec 3 unités
D'après la proposition, la première famille contient les plus petits nombres, la seconde "les un peu plus grands"....
On demande à la classe si cela est correct?
Une partie des élèves remarque que "ce n'est pas toujours bon".
La fraction 27/16 est notamment pointée. Certains affirment qu'elle est plus grande qu'une unité. Pourquoi? " car le nombre d'en haut est plus grand que celui du bas".
On va plus loin dans l'explication:
Le nombre du bas (le dénominateur) correspond au nombre de parts dans l'unité. Donc si le nombre du haut, le numérateur, est plus grand cela signifie qu'on prend plus de part que ce qu'il y a dans l'unité (on doit donc "entamer" une autre unité).
Par exemple: 27/16 = 16/16 + 11/16 = 1 + 11/16.
Donc pour que la méthode proposée par l'élève soit correcte, il faut que la fraction qui est rajoutée aux unités soit une fraction inférieure (plus petite) à 1.
Après cela, nous regardons trois nombres de la même famille:
1 + 1/4 ; 1+ 3/4 ; 1 + 1/3
Et nous essayons de les classer:
1 + 1/4 est plus petit que 1 + 3/4 car 3/4 = 3 x 1/4
Il reste maintenant à "placer" 1 +1/3.
Un élève explique que 1/3 c'est plus grand que 1/4 car "on partage moins l'unité, donc les parts sont plus grosses ".
Donc il reste à savoir si 1+1/3 est plus grand ou plus petit que 1+3/4.
Une élève explique:
"3/4 c'est plus grand que 2/4 et 2/4=1/2 et comme toute à l'heure, 1/2 c'est plus grand que 1/3".
En conclusion nous avons le classement suivant:
1 + 1/4 < 1 + 1/3 < 1+ 3/4