carreaux jaunes

Pour la première questions, certains redessinent les carreaux:

Cette question, permet de faire entrer tout le monde dans l'exercice et de commencer à comprendre les modèles opératoires ou géométrique dans la situations.
Les valeurs trouvées permettront également de vérification pour les stratégies de comptabilité proposées par la suite.

Pour comptabiliser les carreaux jaunes pour la tailles 56 (et 7); plusieurs méthodes sont utilisées:

Certains découpent la figure:

 il y a toujours 16 carreaux dans "les angles" et 4 "doubles rangées".
Donc pour la taille 56, il y a (56 x 2) x 4 +16 = 462 carreaux jaunes.
                                               56 x8   + 16


Pour la suite, je demande on généralise ensemble cette méthode pour n'importe quelle taille:

 En représentant:

Avec des phrases:
"Je prends la taille 8 fois pour faire les bandes et je rajoute les 16 carreaux des coins"

Avec un programme de calculs (je ne garde que le modèle mathématiques):
Choisir la taille                                 
x 8
+ 16

Avec une expression littérale:
T représente la taille: T x 8 +16

Je présente à la classe une autre méthode:

 Seuls, les élèves essaient de faire le même travail avec cette méthode.
D'abord, on regarde pour la taille 56:
56 + 2 = 58  - > 58 x 8 = 464
Qu'on peut écrire en un seule calcul: (56+2) x 8

Ensuite on généralise, en représentant:
- avec des phrases: on prends la taille et on rajoute 2 pour aller jusqu'au bout. Puis on prends cela 8 fois.

- avec un programme:
Choisir la taille
+ 2
x 8

- avec une expression littérale:
(T + 2) x 8         T représentant la taille

 

Même si nous ne l'avons pas vu:
D'autres raisonnent sur l'ajout de 8 carreaux à chaque taille:
en effet si on observe:
taille 1 -> 24
taille 2 -> 32
tailles 3 -> 40

Quand la taille augmente de 1, le nombre de carreaux augmente de 8.
Donc si on augmente de 55 (pour passer de 1 à 56), on augmentera de 8, 55 fois.
Donc pour la taille 56, il y a  24 + 8 x 55 = 462 carreaux jaunes.
Pour cette méthode, on arrive à:
Choisir la taille                                   ou       T représente la taille: (T-1) x8 +24
- 1
x8
+ 24


On sait que les programmes doivent être équivalents (car ils déterminent tous les 2 le nombres de carreaux jaunes) et que les 2 formules doivent être égales pour toutes valeurs de T, mais comment le justifier sans les carreaux?

" en fait le -1 dans le 2e programme, il compte 8 fois donc c'est comme si on enlevait 8 puis on rajoute 24; Enlever 8 et remettre 24 ça revient à rajouter que 16".

En effet dans le 2e programme, on multiplie par 8 la taille diminuée de 1, donc on a 8 fois la taille mais aussi 8 fois la diminution de 1. Autrement dit:

(T-1) x 8 = (T-1) +(T-1) + ...... + (T -1) = T+T+T+T+T+T+T+T+T + 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 
               =T x8 -8