On commence par reformuler l'énoncé: augmenter de 50% revient à rajouter la moitié.
Une élève propose d'inventer des valeurs pour les dimensions du pavé.
En faisant plusieurs exemples, on remarque que "l'ajout sur le volume" n'est pas toujours le même... Mais par contre le volume semble toujours 3,375 fois plus grand.
En terme de recherche, nous avons analyser la situation, proposer plusieurs cas, analyser ces cas et proposer une conjecture, c'est à dire une supposition sur tous les pavés droits.
Quelques élèves sont conscients qu'à ce stade nous n'avons pas justifier (démontrer) la conjecture.
Cette partie de la démarche est complexe... Je la fais avec la classe:
On note x la longueur, y la largeur et z la hauteur. Le volume du pavé est donc égale à x x y x z
Quand on augmente les longueurs des côtés de 50%, on obtient:
- une longueur de x + x/2 = 1,5 x x
- une largeur de y + y/2 = 1,5 x y
- une hauteur de z + z/2 = 1,5 x z
Le nouveau volume est égale à 1,5 x x x 1,5 x y x1,5 x z = x x y x z x 1,5 x 1,5 x 1,5 = x x y x z x 3,375
Nous venons de démontrer dans n'importe quel cas (c'est à dire avec n'importe quelles dimensions).
On peut aussi le démontrer en s'appuyant sur une représentation en perspective cavalière qui montre qu'en agrandissant on rajoute 3 fois un demi pavé , 3 fois un quart de pavé, et enfin 1 huitième de pavé.
On a donc 1 pavé + 3 demis pavé + 3 quarts de pavé + 1/8 de pavé
= 1 pavé + 1 pavé et un demi + 1 demi et 1 quart + 1/8
= 2 pavés + 1 demi + 1 demi + 1/4 + 1/8
= 2 pavés + 1 pavé + 1/4 + 1/8
= 3 pavés + 3/8
= 3,375 pavés