lundi 12 février 2024

Somme d'entiers consécutifs


 Après un temps de recherche, et certainement de tests pour beaucoup d'élèves, on fait un premier point ensemble.

"Ca veut dire quoi qu'une affirmation est vraie en maths?"
" qu'elle est tout le temps vraie, qu'elle marche tout le temps".

"et qu'elle est fausse?"
" qu'elle n'est pas toujours vraie, qu'on peut trouver au moins une fois ou ce n'est pas bon".

Après cela on regarde si on à trouver des cas qui ne marchaient pas pour ces trois affirmations.

- pour la première, ils trouvent un cas où cela n'est pas vraie.
Par exemple: 1+2+3+4=10 et 10 n'est pas un multiple de 4;

Que peut-on en conclure? L'affirmation n'est pas vraie car il existe un cas qui la contredit (un contre exemple).
- pour la seconde, ils trouvent 1 cas où cela est vraie:
Par exemple: 1+2+3 = 6 = 2 x 3;
La plupart des élèves pensent à tester un deuxième cas:
par exemple: 10+11+12 = 33 = 3 x 11

Et c'est là que l'enjeu de l’exercice est placé:
"Est-ce que 2 (ou plusieurs) exemples suffisent pour affirmer que c'est toujours vrai"
Et seulement certains élèves arrivent bien à voir et dire que  nos exemples permettent de suggérer que l'affirmation est vraie (on fait une conjecture) et non de l'affirmer.
Ensuite autre enjeu: comment justifier cette conjecture? Comment la DEMONTRER?

Un groupe d'élèves est partie sur une démonstration qui s'appuie sur le calcul littéral:
- la dernière s'appuie sur le calcul littéral: x est un nombre entier, les 2 nombres qui lui sont consécutifs sont x + 1 et x + 2.
Donc la somme de 3 nombres entiers consécutifs est: x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3
et les élèves qui ont utilisé cette méthode ont eu du mal à bien justifier que 3x+3 est un multiple de 3; 3x + 3 = 3 (x+1) avec x + 1 entier donc 3 (x+1) est un multiple de 3.

- un élève a remarqué que si "le plus grand nombre de la somme donne 1 au plus petit, on obtient 3 nombres égaux" donc la leur somme est un multiple de 3.
Ce qu'on peut représenter ainsi: (x-1) + x + (x+1) = x +x + x = 3 x

Voici d'autres pistes possibles:
- une s'appuyant sur un raisonnement arithmétique:
dans les 3 nombres choisis, il y a forcément un multiple de 3 (car les multiples de 3 reviennent tous les 3 nombres), la somme des 2 autres est un multiple de 3. Car si on les divise par 3, un aura 2 comme reste et l'autre 1. Donc en les additionnant, la somme des 2 restes donne 3 donc "un paquet de 3 en plus". (ce raisonnement s'appuie sur le fait que la somme de multiple de 3 est un multiple de 3: on y reviendra après)
- une autre s'appuyant sur un raisonnement appelé raisonnement par récurrence:
1+2+3 = 6 et pour obtenir la somme qui lui succède (2+3+4), on doit ajouter 3 (car chaque nombre est augmenté de 1 donc la somme augmente de 1+1+1). et ainsi de suite... Donc 6+3+3+....+3 est toujours multiple de 3. (ce raisonnement s'appuie aussi sur le fait que la somme de multiple de 3 est un multiple de 3)