Après un temps de recherche, et certainement de tests pour beaucoup d'élèves, on fait un premier point ensemble.
"Ca veut dire quoi qu'une affirmation est vraie en maths?"
" qu'elle est tout le temps vraie, qu'elle marche tout le temps".
"et qu'elle est fausse?"
" qu'elle n'est pas toujours vraie, qu'on peut trouver au moins une fois ou ce n'est pas bon".
Après cela on regarde si on à trouver des cas qui ne marchaient pas pour ces trois affirmations.
- pour la première, ils trouvent un cas où cela n'est pas vraie.
Par exemple: 1+2+3+4=10 et 10 n'est pas un multiple de 4;
Que peut-on en conclure? L'affirmation n'est pas vraie car il existe un cas qui la contredit (un contre exemple).
- pour la seconde, ils trouvent 1 cas où cela est vraie:
Par exemple: 1+2+3 = 6 = 2 x 3;
La plupart des élèves pensent à tester un deuxième cas:
par exemple: 10+11+12 = 33 = 3 x 11
Et c'est là que l'enjeu de l’exercice est placé:
"Est-ce que 2 (ou plusieurs) exemples suffisent pour affirmer que c'est toujours vrai"
Et seulement certains élèves arrivent bien à voir et dire que nos exemples permettent de suggérer que l'affirmation est vraie (on fait une conjecture) et non de l'affirmer.
Ensuite autre enjeu: comment justifier cette conjecture? Comment la DEMONTRER?
Un groupe d'élèves est partie sur une démonstration qui s'appuie sur le calcul littéral:
- la dernière s'appuie sur le calcul littéral: x est un nombre entier, les 2 nombres qui lui sont consécutifs sont x + 1 et x + 2.
Donc la somme de 3 nombres entiers consécutifs est: x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3
et les élèves qui ont utilisé cette méthode ont eu du mal à bien justifier que 3x+3 est un multiple de 3; 3x + 3 = 3 (x+1) avec x + 1 entier donc 3 (x+1) est un multiple de 3.
- un élève a remarqué que si "le plus grand nombre de la somme donne 1 au plus petit, on obtient 3 nombres égaux" donc la leur somme est un multiple de 3.
Ce qu'on peut représenter ainsi: (x-1) + x + (x+1) = x +x + x = 3 x
Voici d'autres pistes possibles:
- une s'appuyant sur un raisonnement arithmétique:
dans les 3 nombres choisis, il y a forcément un multiple de 3 (car les
multiples de 3 reviennent tous les 3 nombres), la somme des 2 autres est
un multiple de 3. Car si on les divise par 3, un aura 2 comme reste et
l'autre 1. Donc en les additionnant, la somme des 2 restes donne 3 donc
"un paquet de 3 en plus". (ce raisonnement s'appuie sur le fait que la
somme de multiple de 3 est un multiple de 3: on y reviendra après)
- une autre s'appuyant sur un raisonnement appelé raisonnement par récurrence:
1+2+3 = 6 et pour obtenir la somme qui lui succède (2+3+4), on doit
ajouter 3 (car chaque nombre est augmenté de 1 donc la somme augmente de
1+1+1). et ainsi de suite... Donc 6+3+3+....+3 est toujours multiple de
3. (ce raisonnement s'appuie aussi sur le fait que la somme de multiple
de 3 est un multiple de 3)