La première difficulté est la compréhension de l'énoncé: (compétence communiquer)
- varier signifie changer
- on augmente de 50% la longueur ET la largeur.
Ensuite il faut comprendre les modélisations utilisées: (compétences modéliser)
- le potager est assimilé à un rectangle
- augmenter de 50% signifie rajouter la moitié (et pas doubler qui revient à augmenter de 100%)
Une fois ces choses clarifiées avec la classe, il ne reste plus qu'à... ESSAYER DES CHOSES!
Plusieurs démarches sont essayées:
- proposer une variation "à l'instinct": faire une conjecture
- prendre des dimensions "au hasard" pour le potager (beaucoup d'élèves sont perturbés car on ne connait pas "la taille" du potager.
- Faire un dessin sans indiquer de longueur.
Toutes ses démarches sont bonnes... mais incomplète... Sauf en les combinant!
En effet, si on fait une conjecture "à l'instinct", il faut la vérifier... à l'aide d'un exemple ou d'un dessin.
Si on fait un dessin ou un exemple, il faudra en tirer une conclusion sur CE CAS et donc faire une conjecture pour le cas général!
Certains élèves ont des idées:
- l'aire augmente de 50%
- l'aire double (car on fait 2 fois 50%)
Et maintenant que fait-on? Chaque élève, si ce n'est pas déjà fait, effectue un exemple avec les dimensions de son choix. Ainsi on pourra avoir une idée sur les conjectures.
Prenons par exemple, un potager de 10m de longueur sur 4m de largeur. Son aire est de 40m².
En ajoutant 50% à la longueur, elle fera: 10 + 10/2 = 15m
et pareil pour la largeur: 4 + 4/2 = 6m.
L'aire du potager agrandi est donc: 90m².
On remarque donc que
- l'aire n'a pas augmenté de 50%: 40 + 40/2 = 60 < 90
- l'aire n' pas doublé: 40 + 40 = 80 < 90
Mais par rapport à l'exemple de chaque élève ont peu établir de nouvelles conjectures.
Dans le cas ci-dessus:
- l'aire augmente de 65m²
- l'aire est multipliée par 2,25.
Très vite grâce aux exemples de la classe, on peut écarter la conjecture que :
"l'aire augmente de 65m²"
Par contre, il semblerait que l'autre soit correcte car tous les exemples de la classe la valide.
Une fois arrivé ici (après avoir fait des exemples, des conjectures, des exemples pour valider ou invalider, refait des conjectures....) notre travail de recherche est abouti!
Mais on peut essayer de démontrer notre conjecture (car plein d'exemples ne démontrent pas!!!)
Je n'attendais pas que vous le fassiez tout seul... Mais certains ont réussi ou quasiment.
Voilà 2 méthodes proposées:
Si le potager a une longueur L et une largeur l, sont aire est égale à: L x l
En agrandissant sa longueur de 50%, elle fera: L + 1/2 x L = 1,5 x L (1 fois et demie la longueur)
De même la largeur fera: 1,5 x l
La nouvelle aire est donc: 1,5 x L x 1,5 x l.
Comme dans une suite de multiplications on peut changer l'ordre (commuter), on peut écrire:
1,5 x L x 1,5 x l = 1,5 x 1,5 x L x l = 2,25 x L x l = 2,25 x Aire de départ!
L'autre s'appuie sur le dessin suivant:
Si on ne rajoute que 50% de largeur, on rajoute un "bout de potager": qui correspond à la moitié de celui de départ.
En faisant les 2 en même temps, on rajoute deux "demis-jardin" ET LE COIN EN BAS A DROITE;
Qui représente un quart du potager.
Au total, on a un potager qui a une aire 1 + 1 + 0,25 = 2,25 fois plus grande que celui de départ.