Les élèves calculent les 4 expressions...
(1x2+2x3) / 2 = 4
(2x3+3x4) / 2 = 9
(3x4+4x5) / 2 = 16
(4x5+5x6) / 2 = 25
Beaucoup se limitent à cela... Sans s’interroger plus.
Certains remarquent que dans la partie de gauche les nombres augmentent de 1 (sauf le diviser par 2) et qu'à droite les écarts augmentent de 2 (5 d'écart puis 7, puis 9....)
Ainsi, on propose sur le même modèle "l'expression suivante":
(5x6+6x7) / 2 et l'écart avec 25 doit être de 2 de plus que 9 donc 11: 25 + 11 =36.
Donc si notre observation, (5x6+6x7) / 2 doit être égale à 36.
On vérifie à la calculatrice... OK!
La limite de ce raisonnement, c'est qu'on est obligé de faire " de proche en proche", c'est à dire par exemple pour savoir à quoi est égale (12x13+13x14) / 2 il nous faut savoir à quoi est égale (11x12+12x13) / 2....
Alors je propose que chaque élève trouve une nouvelle expression (en faisant attention à déterminer le membre de droite):
(10x11+11x12) / 2 =121
(19x20+20x21) / 2 = 400
(13 x14 +14x15) / 2 =196
A force d'en proposer, on finit par remarquer que le nombre obtenu est le produit " des 2 nombres pareils du milieu": 121 = 11x11; 400 = 20x20 ; 196 = 14x14...
On essaie donc de décrire cela en français puis en expression littérale (en formule).
2 Proposition ressortent:
(n x (n+1) + (n+1) x (n+2)) / 2 = (n+1) x (n+1)
et
((n-1) x n + n x (n+1)) / 2 = n x n
Ce qui change entre les 2, c'est le choix du nombre de référence (le nombre de départ): dans celle du haut il correspond au premier qu'on écrit alors que dans celle du bas c'est "celui du milieu".
Il faut bien être conscient que ces 2 expressions ne sont que des conjectures. Elles semblent correctes sur nos observations mais il faut le prouver.
On n'a pas eu le temps de le faire mais je vous le montre ici:
n x (n-1) = n x n - n et n x (n+1) = n x n + n
donc ((n-1) x n + n x (n+1)) = n x n - n + n x n + n = 2 x n x n + n - n = 2x n x n
D'où: ((n-1) x n + n x (n+1)) / 2 = n x n
On vient de montrer que cela est vrai pour n'importe quelle valeur de n c'est à dire pour n'importe quel nombre choisi.