On commence par rappeler que pour montrer qu'une affirmation est fausse il suffit de montrer que dans un cas elle est fausse. Donc de trouver un contre exemple.
Pour montrer qu'elle est vraie, il faut montrer qu'elle est TOUT LE TEMPS vraie. Un exemple ne suffit pas. Il faut le démontrer en s'appuyant sur des raisonnements logiques.
- Si un nombre est multiple de 6 alors la somme des chiffres qui le (le multiple) compose est égale à 6.
Faux, par exemple: 2*6=12 et 1+2=3
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Le reste d'une division euclidienne par 7 n'est jamais 8. Vraie car
s'il reste 8, on peut encore prendre 1 fois 7. Le reste ne peut pas être
plus grand que le diviseur.
- Un multiple de 3 n'est pas toujours un multiple de 9 et 12 est multiple de 3 car 3 x 4= 12 et 12 n'est pas un multiple de 9 (contre-exemple).
On peut regarder l'affirmation réciproque: "un multiple de 9 est toujours un multiple de 3".
Celle-là est vraie car 9 est un multiple de 3.
On peut le prouver ainsi: les multiples de 9 peuvent se représenter ainsi: 9 x n (n est un nombre entier).
9 x n = 3 x 3 x n = 3 x M (avec M = 3 x N) et comme M est un nombre entier 3 x M est un multiple de 3.
- pour la dernière: les élèves trouvent des cas où cela est vraie:
Par exemple: 1+2+3 = 6 = 2 x 3;
La plupart des élèves pensent à tester un deuxième cas:
par exemple: 10+11+12 = 33 = 3 x 11
Et c'est là que l'enjeu de l’exercice est placé:
"Est-ce que 2 (ou plusieurs) exemples suffisent pour affirmer que c'est toujours vrai"
Et seulement certains élèves arrivent bien à voir et dire que nos exemples permettent de suggérer que l'affirmation est vraie (on fait une conjecture) et non de l'affirmer.
Ensuite autre enjeu: comment justifier cette conjecture? Comment la DEMONTRER?
- une élève remarque qu'on peut "échanger" des unités dans les 3 nombres consécutifs:
3 + 4 +5 = 4 + 4 +4 = 3x4
Cela peut se généraliser à l'aide du calcul littéral: x est un nombre entier,
les 2 nombres qui lui sont consécutifs sont x + 1 et x + 2. Et x + x + 1 + x + 2 = x+1 +x+1 +x+1 = 3 x (x+1) qui est donc un multiple de 3.
- On peut aussi le voir ainsi: x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3
et les élèves qui ont utilisé cette méthode ont eu du mal à bien
justifier que 3x+3 est un multiple de 3; 3x + 3 = 3 (x+1) avec x + 1
entier donc 3 (x+1) est un multiple de 3.
Cette méthode permet aussi de démontrer que la somme de multiple de 3 est un multiple de 3:
3x et 3y sont deux multiples de 3 (x et y sont des entiers). 3x +3y = 3 (
x+y ) avec x + y entiers donc 3 ( x+y) est un multiple de 3.
Voici d'autres pistes possibles:
- une s'appuyant sur un raisonnement arithmétique:
dans les 3 nombres choisis, il y a forcément un multiple de 3 (car les multiples de 3 reviennent tous les 3 nombres), la somme des 2 autres est un multiple de 3. Car si on les divise par 3, un aura 2 comme reste et l'autre 1. Donc en les additionnant, la somme des 2 restes donne 3 donc "un paquet de 3 en plus". (ce raisonnement s'appuie sur le fait que la somme de multiple de 3 est un multiple de 3: on y reviendra après)
- une autre s'appuyant sur un raisonnement appelé raisonnement par récurrence:
1+2+3 = 6 et pour obtenir la somme qui lui succède (2+3+4), on doit ajouter 3 (car chaque nombre est augmenté de 1 donc la somme augmente de 1+1+1). et ainsi de suite... Donc 6+3+3+....+3 est toujours multiple de 3. (ce raisonnement s'appuie aussi sur le fait que la somme de multiple de 3 est un multiple de 3)