Le premier en jeu, après avoir compris la disposition des tables.
La question a) doit permettre de commencer à comprendre comment se placent les assiettes et comprendre le modèle mathématique en jeu. Et c'est ce modèle qui doit être exploiter dans la question b).
Après un temps de réflexion personnelle, on fait le point en présentant les différentes méthodes pour déterminer le nombre d'assiettes sur 82 tables accolées:
- Méthode 1 : on retire les 2 tables du bout qui ont 3 assiettes. Il nous reste donc 82 -2 = 80 tables avec 2 assiettes. Et ensuite on rajoute les 6 assiettes (2x3) du "bout". On a donc 2 x (82 -2) +6 assiettes
- Méthode 2 : il y a 2 assiettes "au bout" de toutes les tables. Et on en rajoute 2 sur le milieu des tables du bout. Donc pour 82 tables, on 2 x 82 assiettes + 2.
- Méthode 3: on forme une sorte de L penché, avec toutes les assiettes "du haut" + une du milieu au bout. On a donc 82 + 1 = 83 assiettes. On a le même L de l'autre côté. On a donc 2 x (82 + 1) assiettes.
Une fois c'est 3 méthodes expliquées et discutées ensemble, je demande à chaque élève de généraliser, c'est à dire d'expliquer pour n'importe quel nombre de tables, comment on détermine le nombre d'assiettes. pour cela , il peuvent utiliser des phrase, un programme de calculs ou une expression (une formule).
Par exemple pour la méthode 1: on arrive à:
Avec des phrases:
J'enlève 2 (car je prends que les tables du milieu).
Je fais "fois 2" car il y a 2 assiettes sur ces tables.
Je rajoute les 6 tables du bout.
Avec un programme:
choisir le nombre de tables
-2
x 2
+ 6
Avec une formule:
( tables - 2) x 2 + 6
Voici le tableau récapitulatif de tout cela:
Une élève s'intéresse au 1er et au dernier programme. "dans le dernier on prend le (nombre de départ +1); 2fois. Donc on a deux fois le nombre de départ (comme dans le premier programme) puis +1 +1 donc +2 comme dans le 1er programme.".
Autrement dit, on a: 2 x (T+1 ) = T+1 +T +1 = 2 x T +1 +1 = 2 x T +2 (comme la première expression).
On regarde après le 3e programme: "qu'est qui est multiplié par 2?" "le nombre de départ diminué de 2". Donc c'est comme si on prenez 2 fois le nombre de départ et qu'on enlevait 2 fois 2 donc on enlève 4. Et comme on remet 6, ca fait comme si on rajouté que 2. Comme dans le 1". Très bien!
On peut aussi voir cela avec l'expression: 2 x (T - 2 ) = T -2 + T -2= 2 x T - 2 -2 = 2 x T -4.
Et 2 x T - 4 +6 = 2 x T +2 comme la 1ere expression.
Le deuxième programme est plus complexe. On prend le nombre de départ 3 fois puis on enlève (le nombre de départ diminué de 2). C'est à dire qu'on a 3 fois le nombre de départ puis on enlève un peu moins que le nombre départ (2 de moins). Donc si j'enlève 1 fois le nombre de départ aux 3 fois que j'avais, il me reste 2 fois le nombre de départ. Mais attention, quand j'enlève le nombre de départ, j'ai enlevé 2 de trop. Donc je rajoute 2 à 2 fois le nombre de départ. Comme dans le 1!
Pour le premier cour, les élèves se lancent, notamment sur la question b).
La question 1 doit permettre de commencer à comprendre comment se placent les assiettes et comprendre le modèle mathématique en jeu. Et c'est ce modèle qui doit être exploiter dans la question b).
Après un temps de réflexion personnelle, on fait le point en présentant les différentes méthodes pour déterminer le nombre d'assiettes sur 82 tables accolées:
- Méthode 1 : on retire les 2 tables du bout qui ont 3 assiettes. Il nous reste donc 82 -2 = 80 tables avec 2 assiettes. Et ensuite on rajoute les 6 assiettes (2x3) du "bout". On a donc 2 x (82 -2) +6 assiettes
- Méthode 2 : il y a 2 assiettes "au bout" de toutes les tables. Et on en rajoute 2 sur le milieu des tables du bout. Donc pour 82 tables, on 2 x 82 assiettes + 2.
- Méthode 3: on forme une sorte de L penché, avec toutes les assiettes "du haut" + une du milieu au bout. On a donc 82 + 1 = 83 assiettes. On a le même L de l'autre côté. On a donc 2 x (82 + 1) assiettes.
- Méthode 4: on imagine qu'on rempli toutes les tables avec 3 assiettes (on rajoute des assiettes "au milieu"). Sur 82 tables on aura donc 3 x 82 assiettes. Il faut enlever maintenant "les assiettes du milieu".
Dans "les tables du milieu" c'est à dire toutes sauf les 2 du bout, il faut enlever l'assiette rajoutée. Il y a 82 -2 = 80 tables "au milieu" donc 80 assiettes à enlever. En résumé on a: 3 x 82 - (82-2) assiettes.
Une fois c'est 4 méthodes expliquées et discutées ensemble, je demande à chaque élève de généraliser, c'est à dire d'expliquer pour n'importe quel nombre de tables, comment on détermine le nombre d'assiettes. pour cela , il peuvent utiliser un programme de calculs ou une expression (une formule).
Par exemple pour la méthode 2: on arrive à:
choisir le nombre de tables
x 2
+2
ou: tables x 2 + 2
Voici le tableau récapitulatif de tout cela:
Pour finir ce travail, on va s'intéresser uniquement au modèle mathématiques, c'est à dire les programmes et les expressions... Sans parler des tables ou des assiettes!
Que font les 4 programmes? "ils donnent le nombre d'assiettes" donc si je leur donne un nombre, ils trouvent le même nombre à la fin! On peut dire que ces programmes sont équivalents; c'est à dire qu'ils ne font pas les mêmes opérations, mais cela revient au même.
Mais on se n'arrête pas là! On va comprendre pourquoi les opérations (sans parler de tables) reviennent au même.
Une élève s'intéresse au 1er et au dernier programme. "dans le dernier on prend le (nombre de départ +1); 2fois. Donc on a deux fois le nombre de départ (comme dans le premier programme) puis +1 +1 donc +2 comme dans le 1er programme.".
Autrement dit, on a: 2 x (T+1 ) = T+1 +T +1 = 2 x T +1 +1 = 2 x T +2 (comme la première expression).
On regarde après le 3e programme: "qu'est qui est multiplié par 2?" "le nombre de départ diminué de 2". Donc c'est comme si on prenez 2 fois le nombre de départ et qu'on enlevait 2 fois 2 donc on enlève 4. Et comme on remet 6, ca fait comme si on rajouté que 2. Comme dans le 1". Très bien!
On peut aussi voir cela avec l'expression: 2 x (T - 2 ) = T -2 + T -2= 2 x T - 2 -2 = 2 x T -4.
Et 2 x T - 4 +6 = 2 x T +2 comme la 1ere expression.
Le deuxième programme est plus complexe. On prend le nombre de départ 3 fois puis on enlève (le nombre de départ diminué de 2). C'est à dire qu'on a 3 fois le nombre de départ puis on enlève un peu moins que le nombre départ (2 de moins). Donc si j'enlève 1 fois le nombre de départ aux 3 fois que j'avais, il me reste 2 fois le nombre de départ. Mais attention, quand j'enlève le nombre de départ, j'ai enlevé 2 de trop. Donc je rajoute 2 à 2 fois le nombre de départ. Comme dans le 1!