Les 3 premières questions ne posent pas de soucis. La calculatrice est utilisée comme outil de vérification.
Pour la question d. on commence par expliquer pourquoi on demande une conjecture et pas un calcul:
"on veut déduire le résultat du calcul grâce aux questions d'avant sans faire le calcul".
Autrement dit, les calculs des questions a. b. et c. sont égaux à -1. Le calcul d. "ressemble", on peut donc supposer (faire la conjecture) qu'il est aussi égale à -1.
On commente ce que veut dire "ressemble": il est fait pareil. C'est à dire:
"Il y a un nombre puis on le multiplie par le nombre un peu plus grand de 2 et on soustrait le nombre qui suit (celui du début) au carré".
Cette description correspond à ce qu' la question e. appelle le modèle. Qui permet en jeu 3 nombres consécutifs (qui se suivent): par exemple 317 318 et 319.
Avec ces discussion tout le monde arrive à proposer des triplets répondant à la question e.. Par exemple:
421 x 423 - 422² ou 896 x 898 - 897².
A partir de cela, certains proposent des expressions littérales qui représentent une généralisation de ce modèle:
* n x (n+2) - (n+1)²
* (n-1) x (n+1) - n²
On explique que dans les 2 expressions, n ne représente pas le même nombre:
- dans la première n est le plus petit des 3 nombres (et n+1 celui qui "le suit" ....); 317 dans la question d.
- dans la seconde n représente le nombre "du milieu", celui qu'on soustrait au carré. 318 dans la question d.
Je demande à la classe à quoi vont nous servir ces expression? Certains pensent qu'on va les développer mais sans intérêt... Mais une partie à compris que "normalement" ces expressions doivent être identiquement égales à -1. Ce qui prouverait notre conjecture.
On calcule la seconde (car il n'y a qu'un seul développement à faire):
prendre n-1 fois n+1 revient à prendre n fois n+1 et retirer 1 fois n+1. On a donc:
(n-1) x (n+1) = n x (n+1) - (n+1) = n²+n - (n + 1)
En retirant n à n² + n, "il reste" n² mais comme on voulait retirer n+1, on n'a pas retiré assez. Il faut encore retirer 1. Donc: (n-1) x (n+1) = n x (n+1) - (n+1) = n²+n - (n + 1) = n²-1
D'où: (n-1) x (n+1) - n² = n²-1 - n² = -1.
Donc pour n'importe quel nombre (représenté par n), notre expression est égale à -1!