Une grande partie des élèves commencent par calculer l'aire de la pièce à carreler:
924 x 588 = 543 312 cm².
Certains concluent qu'on peut mettre 543 312 carreaux de 1cm de côté.
y a-t-il d'autres tailles possibles?
On pense à des carreaux de 2cm de côté.
Pour savoir si cela est correct, on propose de diviser par 2, le nombre de carrés de 1cm et de voir si on a un nombre entier de carrés... Sauf qu'un carreau de 2 cm de côté n'a pas une aire deux fois plus grande que celui de 1cm... Mais 4 fois plus grande.
On regarde alors si on peut trouver un nombre entier qui correspond à
4 x ... = 543 312 ( c'est à dire combien de carreaux de 4 cm² pour faire 543 312 cm²).
Pour cela on effectue le quotient: 543 312 / 4 =135 828.
On peut donc mettre 135 828 carreaux de 4cm² dans la pièce... Mais on a oublié de prendre quelque chose en compte?????
En raisonnant ainsi, on sait qu'on peut mettre 135 828 carreaux de 4cm² dans la pièce.... Mais est-ce que sera forcément des carreaux carrés? Non....
Comment vérifier cela?
Pour savoir si les carreaux de 2cm de côté "rentrent bien" dans la salle,c 'est à dire qu'on a pas besoin de les couper, il faut regarder si 924 est un multiple de 2... Et 588 aussi.
Autrement dit, est ce qu'on peut mettre un nombre entier de carreaux de 2cm, pour faire une rangées ou un colonne, sans avoir à couper le dernier.
Dans ce cas, c'est bon car 924 et 588 sont pairs (donc multiples de 2).
Ensuite on se demande pour 3cm de côté... Donc on se demande si 924 est un multiple de 3 et aussi si 588 est un multiple de 3...
Pour cela, on propose de regarder si quand je divise 924 par 3, je tombe sur un nombre entier...
On effectue des tests pour d'autres "tailles" de carrés:
Certains établissent des raisonnements:
- si 5 "ne marchent pas" pas la peine de tester 10, 15 ,20... (multiples de 5).
- si 2 et 3 sont corrects, je vais tester 2x3 = 6.
D'autres modélisent encore plus: je vais chercher les diviseurs de 924 et 288. Je ne parle plus carrés mais uniquement des opérations en jeu.
Pour aller plus loin, on pourrait décomposer 924 en facteurs premiers:
924 = 2 x 462 = 2 x 2 x 231 = 2 x 2 x 3 x 77 = 2 x 2 x 3 x 7 x 11
Pareil avec 588:
255 = 2 x 294 = 2x2x147 = 2x2x3 x49 = 2x2x3x7x7.
D'après ces décompositions, le plus grands carreau possible serait de 2x2x3x7 =84 cm de côté.