Avant de commencer à chercher à résoudre cet exercice, nous commençons par l'expliquer et donner des précisions.
Dans cette activité, nous cherchons une valeur d'un nombre inconnu (p) pour que l'égalité soit juste (vraie!). On résout ce qu'on appelle une équation.
Après un temps individuel, on récapitule les différentes méthodes utilisées:
- faire des essais (éventuellement avec un tableur)
- transformer les expressions en programme de calculs et remonter le programme
- simplifier les expressions puis faire les opérations à l'envers
Une fois cela listé, je propose d'autres équations (égalités où il y a un nombre inconnu qu'on cherche).
Chacun traite celles qui lui conviennent.
Je mets la correction du A:
On reprendra la C la D et la F ensemble.
Pour la C, l'expression de gauche: 3 (k+3) + 2 x k correspond au programme de calculs suivant:
Choisir k
+ 3
x 3
+ 2 x k
Et on souhaite que ce programme arrive à 48 -7 = 41.
Le problème, c'est qu'on ne peut pas "le remonter" car on ne connait pas la valeur de k (dans la ligne + 2 x k).
On va alors modifier le programme:
On multiple par 3: le k augmenté de 3. Donc k est pris 3 fois ainsi que l'augmentation de 3.
Donc le programme est équivalent à:
Choisir k
x 3
+3 x 3
+ 2 x k
(cette modification du programme consiste à développer 3 x (k+3) = k+3+k+3+k+3 = 3 x k + 3x3).
On va encore modifier ce programme: le nombre k est pris 3 fois puis on le rajoute 2 fois. Ainsi, cela revient à le prendre 5 fois. (autrement dit, k x 3 + 9 + 2 x k = k+k+k+ 9 +k+k = 5 x k +9).
Le programme est donc équivalent à:
Choisir
x 5
+ 9
Et ce dernier programme (qui est équivalent à l'expression de départ) peut être remonté!
41 - 9 = 32 et 32 / 5 =6,4.
On vérifie alors que si k = 6,4 l'égalité de départ est correcte:
3 x (6,4 + 3 ) + 2 x 6,4 = 28,2 + 12,8 = 41 ( = 48 - 7). OK!!!!
On s'intéresse maintenant à l'équation D (que je modifie légèrement):
9 x (k+12) - 1 = 5 x k + 141
Quel est la difficulté par rapport aux autres équation? " on ne sait pas combien on doit trouver car on a 2 programmes de calculs. Un de chaque côté du égale".
Je commence par traduire les 2 expressions en programme (et je "simplifie" l'expression de gauche):
9 x (k+12) - 1 = 9 x k + 9 x12 -1 = 9x k + 107.
Donc on cherche, pour quelle valeur de k, les 2 programmes ci-dessous donnent le même nombre (mais on ne sait pas lequel):
Gauche Droite
Choisir k Choisir k
x 9 x 5
+ 107 + 141
Le programme de gauche prend k 4 fois de plus que celui de droite (9 contre 5) mais le programme de droite rajoute 34 de plus (141 contre 107).
Pour que les programmes donnent le même nombre il faut que ces écarts s'équilibrent.
Autrement dit, l'ajout de 34 doit compenser les 4 fois k de plus. Donc k vaut 4 fois moins que 34 (soit 34 : 4 = 8,5).
On peut raisonner de la même façon sur l'égalité de départ:
9 x k + 107 = 5 x k + 141
L'expression, de gauche prend k 4 fois de plus que celle de droite (9 contre 5) mais l'expression de droite rajoute 34 de plus (141 contre 107).
On également raisonner comme cela:
9 x k + 107 = 5 x k + 141
Je ne prend pas 5 x k dans les 2 expressions, ainsi elles diminuent de 5 x k chacune:
4 x k + 107 = 141
Ensuite je diminue de 107 et donc 4 x k est égale à 107 de moins que 141 donc 34....
Pour finir, un mot sur le F:
(2 x k + 6) x (3 x k - 5) - 6 k² = k+1
Il faut développer (2 x k + 6) x (3 x k - 5) c'est à dire le transformer en une somme:
(2 x k + 6) x (3 x k - 5) = (3x k - 5)+ .......... +(3x k - 5)
2 x k + 6 fois
On a donc (2 x k + 6) fois 3x k , c'est à dire 2 x k fois (3x k - 5) et encore 6 fois (3x k - 5) et
(2 x k + 6) fois (-5)....
Je laisse continuer les plus à l'aise. On retravaillera cela plus tard.