Certains élèves essaient "d'inventer une règle" (ce qu'on appelle en fait un modèle mathématiques).
Par exemple:
"Il y a 2 touches et on doit appuyer 4 fois, donc il y a 2 x 4 = 8 codes possibles. S'il y a 3 lettres et qu'on doit appuyer 4 fois, il y aura 3 x 4 = 12 codes...."
Je les invite alors à essayer de trouver un moyen de vérifier leur proposition... Mais comment?
Soit en listant les codes (ce que beaucoup on fait), soit en modifiant les valeurs en jeu:
s'il n'y a qu'une touche et qu'on doit appuyer 4 fois, en utilisant leur modèle, il doit y avoir 1 x 4 = 4 codes... Or il n'y a qu'un code: AAAA. Donc le modèle est faux.
La plupart des élèves ont dressé la liste des codes possibles. Je les invite à comparer entre eux afin de voir s'ils n'ont pas de doublons ou d'oublis. Après un certains temps, une bonne partie des élèves trouvent 16 codes (ce qui correct):
AAAA
BAAA
ABAA
AABA
AAAB
BBAA
BABA
BAAB
ABBA
ABAB
AABB
ABBB
BABB
BBAB
BBBA
BBBB
Je leur propose donc une autre représentation du problème et du dressage de la liste de code:
En expliquant:
En premier il a deux choix: appuyer sur A ou sur B.
Ensuite, s'il appuie sur A, il a encore 2 autres choix. Et s'il avait appuyer sur B aussi...
On remarque alors que:
- s'il doit appuyer qu'une fois il a 2 codes possibles
- s'il doit appuyer que deux fois il a 4 codes possibles
- s'il doit appuyer que trois fois il a 8 codes possibles
- s'il doit appuyer que quatre fois il a 16 codes possibles
On comprend le modèle mathématiques: chaque fois qu'on ajoute "un appui à faire", on multiplie par 2 le nombre de codes.
Donc s'il y avait 5 appuis, il y aurait 2 x 16 = 32 codes.
On a modélisé!
On essaie d'adapter à 3 lettres possibles (puis 4):
certains élèves ont bien assimiler le modèle et l'adapte:
comme on a 3 choix possibles (A, B ou C), pour un appui il y a 3 codes possibles, et pour un appui en plus, il y en a 3 fois plus: 3x3 = 9 codes.
Si on rajoute un 3e appui, il y a 3 x 9 = 27 codes et avec 4 appuis; 3 x 27 = 81 codes.
On remarque, qu'on peut faire 3 x 3 x 3 x 3 = 81.
Donc avec 4 touches (ABCD) et avec 6 appuis, il y aurait: 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x codes possibles.
Cela permet de rappeler (ou juste montrer) que 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 peut s'écrire 46
46 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 et 46 =se lit 4 à la puissance 6.