Après une longue série de question et de débat, l'exercice devient clair:
comme des longueurs dépendent de la valeur de 𝛥, l'aire dépendra aussi de 𝛥.
Donc on ne peut pas trouver un nombre pour l'aire, mais une expression (une formule) qui dépend de 𝛥. C'est à dire une expression où "il y a 𝛥 dedans".
On note au tableau les différentes propositions en expliquant le lien avec la figure:
(𝛥+5) x (4 x 𝛥 +2)
4 x 𝛥 +2 représente la longueur et 𝛥+5 la largeur. Et on multiplie les 2.
(4 x 𝛥 x 𝛥) + 10 + (2 x 𝛥) + (4 x 𝛥 x 5)
On détermine l'aire de chaque rectangle et on additionne les 2.
(4 x 𝛥 +2) x 𝛥 + (4 x 𝛥 +2) x 5
On découpe le grand rectangle en 2 "bandes horizontales".
4 x 𝛥 x (𝛥+5) + 2 x (𝛥+5)
On découpe le grand rectangle en 2 "bandes verticales.
Une fois cela fait, on analyse... On sait que ces expressions représentent toutes l'aire de la figure. Elles sont donc égales.
On regarde alors pourquoi elles sont égales sans revenir aux aires:
Par exemple:
Pour l'expression: (4 x 𝛥 +2) x 𝛥 + (4 x 𝛥 +2) x 5 on sait que prendre (4 x 𝛥 +2) x 𝛥 = 𝛥 x (4 x 𝛥 +2) et prendre 𝛥 fois (4 x 𝛥 +2) revient à prendre 𝛥 fois (4 x 𝛥) et rajoute 𝛥 fois 2.
On a donc: (4 x 𝛥 +2) x 𝛥 = 𝛥 x (4 x 𝛥 +2) = 𝛥 x 4 x 𝛥 +𝛥 x2
De même, (4 x 𝛥 +2) x 5 = 5 x (4 x 𝛥 +2) = 5 x (4 x 𝛥) + 5 x 2.
Donc:
(4 x 𝛥 +2) x 𝛥 + (4 x 𝛥 +2) x 5 = 𝛥 x 4 x 𝛥 +𝛥 x2 + 5 x (4 x 𝛥) + 5 x 2 c'est à dire (à l'ordre près) la 2e expression.
On s’intéresse alors à la première expression:
(𝛥+5) x (4 x 𝛥 +2) , on prend (𝛥+5) fois (4 x 𝛥 +2), c'est à dire que si on prend 𝛥 fois (4 x 𝛥 +2) il faut encore prendre 5 fois (4 x 𝛥 +2).
Donc (𝛥+5) x (4 x 𝛥 +2) = 𝛥 x (4 x 𝛥 +2) + 5 x (4 x 𝛥 +2)